Frekans Yanıtı

Frekans Yanıtı Nedir?

Bir frekans yanıtı, bir sistemin değişen frekanslardaki sinüzoidal girişlere kararlı durum yanıtını tanımlar ve kontrol mühendislerinin frekans alanında kontrol sistemlerini analiz etmesine ve tasarlamasına olanak tanır.

Frekans bölgesinin neden önemli olduğunu anlamak için bir akustik gitar düşünün. Bir mikrofonu ses tahtasına yakın bir yere yerleştirir ve tellerden birini çekersek (Şekil 1. sol), titreşen tel gitar boşluğunda yankılanacak ve mikrofon tarafından yakalanan bir ses dalgası üretecektir. Yakalanan sinyalin zaman izine bakıldığında (Şekil 1, sağda), neler olup bittiğine dair hızlı bir şekilde bilgi çıkarmak zordur.

Şekil 1: Titreşim gitar boşluğunda yankılanır ve bir ses dalgası üretir (solda). Zaman alanındaki sinyalin zaman izi (sağda).

Aynı sinyale bir spektrum analiz cihazında frekans alanında baktığımızda veya zaman alanı sinyalinin hızlı Fourier dönüşümünü (FFT) alarak, bazı frekanslarda bir genlik tepe noktası görüyoruz (Şekil 2, solda). Bu tepe frekansı, az önce çaldığımız notayı oluşturan temel tondur. Akort düğmesini ayarladığımızda veya teli gitarın sap kısmına bastırdığımızda o telin ön yükünü veya efektif uzunluğunu değiştirmiş oluyoruz. Bu, telin rezonans ettiği frekansı yukarı veya aşağı kaydıracak ve farklı bir nota üreteceğiz (Şekil 2, sağ). Frekans alanındaki bu basit analiz ile gitarın (sistemin) çekmeye (sistem girişi) nasıl tepki verdiğini görebiliriz.

Şekil 2: Aynı sinyal, frekans alanında gösterilmektedir (solda). Telin rezonans frekansını önceden yükleyerek kaydırmak (sağda).

Bu benzetme, sistemin çevreden gelen girdilere veya uyaranlara tepkisiyle ilgilendiğimiz diğer sistemlere de taşınabilir. Bir rezonans tepe noktasının frekansı, DC kazancı, bant genişliği, evre gecikmesi ve kapalı çevrim bir sistem için evre ve kazanç payı gibi sistem dinamikleri hakkında fikir edinebiliriz.

Bir Sistemin Frekans Yanıtını Alma

Aşağıdaki tablo, MATLAB® ve Simulink® kullanan bir sistemin frekans yanıtını elde etmek için bir yaklaşımın (gri renkle gösterilmiştir) belirlenmesine yardımcı olur.

 Şekil 3: MATLAB ve Simulink kullanarak sisteminiz için bir frekans yanıtı alma.

1. Sistemin bir aktarım işlevini veya durum uzayı modeli biçiminde doğrusal bir temsiline sahipseniz, üç çizimden birini kullanarak frekans tepkisini çizebilirsiniz: Bode diyagramı, Nyquist grafiği veya Nichols grafiği. Bode diyagramı, uyarma sinyalinin frekansının işlevleri olarak büyüklüğü ve fazı gösterir (Şekil 4).

Örneğin, bir sistemin aktarım işlevinin gösterimi verildiğinde (H),

1. Sistemin bir aktarım işlevini veya durum uzayı modeli biçiminde doğrusal bir temsiline sahipseniz, üç çizimden birini kullanarak frekans tepkisini çizebilirsiniz: Bode diyagramı, Nyquist grafiği veya Nichols grafiği. Bode diyagramı, uyarma sinyalinin frekansının işlevleri olarak büyüklüğü ve fazı gösterir (Şekil 4).

Örneğin, bir sistemin aktarım işlevinin gösterimi verildiğinde (H),

H(s)=s2+0.1s+7.5s4+0.12s3+9s2

MATLAB’de aşağıdaki komutları kullanarak frekans yanıtını çizebilirsiniz:

H=tf([10.17.5],[10.12900]);

bode(H)

Şekil 4: Bode Diyagramı

Bazı durumlarda, sistemin doğrusal bir temsili mevcut olmayabilir.

2. Bu durumda, fiziksel sistemden giriş-çıkış test verilerine erişiminiz varsa, aktarım işlevini, durum uzayı temsillerini ve frekans yanıtı modellerini belirlemek için System Identification Toolbox™ ile veriye dayalı modelleme yaklaşımlarını kullanabilirsiniz. 
3. Sistem dinamiklerini modellemek için Simulink kullanıyorsanız, Simulink modelinizin lineer durum uzayı yaklaşımını oluşturmak ve frekans yanıtını çizmek için modelinizi doğrusal hale getirmek için Simulink Control Design™ içindeki Model Linearizer uygulamasını kullanabilirsiniz.
4. Simulink modellerinin süreksizlikler nedeniyle doğrusal hale gelememesi durumunda, bir frekans yanıtı modelini doğrudan tahmin etmek için frekans yanıtı tahminini kullanabilirsiniz.

Şekil 5: Simulink’te frekans yanıtı tahmini.

Simulink Kontrol Tasarımı, sisteminizin bir frekans yanıt modelini tahmin etmek için iki yaklaşım sunar.

Çevrimdışı frekans yanıtı tahmini

Model Doğrusallaştırma uygulaması, belirtilen frekanslarda bir giriş pertürbasyon sinyali ile sistemi uyarır ve simülasyon sırasında model çıkışındaki yanıtı günlüğe kaydeder (Şekil 5). Simülasyon sonrası, günlüğe kaydedilen giriş ve çıkış sinyalleri, modelin frekans yanıtını hesaplamak için işlenir.

Çevrimiçi frekans yanıtı tahmini

Fiziksel bir tesisin frekans yanıtı, Frekans Yanıtı Tahmincisi bloğu ile gerçek zamanlı çalışma sırasında tahmin edilir. Bu blok, sinüzoidal test sinyallerini tesise nominal çalışma noktasında enjekte eder ve çıkış sinyali verileri toplandıkça frekans yanıtı sürekli olarak iyileştirilir.

Aşağıdaki tablo frekans aralığı, doğruluk ve tahmin hızı tahmin ihtiyaçlarınıza göre enjekte edebileceğiniz pertürbasyon sinyallerini göstermektedir.